第四十五章 微分
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两人看看李纵所写下的面积，又看了看李纵。
按照他们的理解，只要字母中间不写东西的，都做乘法运算。那难不成这条式子的意思是用f(x)去乘dx，问题是这个dx又是什么意思。
上面可没有d这个字母。
不过张公绰还是试探着问道：“难不成……”
但话说到一半，张公绰便又停了下来。
“老夫还是不太能够理解，这图形的面积该如何求。”
李纵知道张公绰有点被现实束缚住了，也是提醒道：“这个dx的意思，就是一滴滴的x的意思。”
李纵说这话的同时，还用手指比了一段很小很小的距离给他看。
张公绰立刻就脱口而出，“难不成，你是想用割方条术？”
“什么？什么割方条术？”恒巽也是立刻问道。
张公绰便道：“如果把这个dx比作是一小段的距离，那么这个f(x)，就是它的高。底乘高，正是面积。”
“但……”
他紧接着又低着头犹豫了下。
李纵却是道：“没错！虽说你说的这个割方条术还不是很准确，但是，我们就是把这个图形，看成是一条条的铅垂线段，而且这条铅垂线段的底，正常来说，我们都会认为线是没有宽度的，但现在我们认为它有一滴滴的距离，而这个一滴滴的距离，就是dx。”
“所以这里的f(x)dx的意思，就是你原本所想的那样，即是底乘高的意思。”
张公绰却道：“可这样……这条线上，不是每一处……那这个要怎么加起来？”
李纵便道：“之前不是教过你们∑符号吗？这个弯曲的像蛇一样的符号，∫，它的意思就是求和。那为什么不用前面的那个，这就涉及到，两者求和的意义不同。”
“前者是对离散的，像1、2、3、4这样的，一个一个加在一起的求和，而∫是对任何实数，而且是连续分布的数的加起来一起。”
“比如说，在1跟2之间，会有一个根号2，也就是2的开方，它比1大，比2小，而反应在我们这个图形上，显然，虽然我们看不到，但它肯定是有的，我们要把这个也算上。而不能去跳过那些在1跟2之间的数。”
“然后，剩下还有两个数，一个是a，一个是b，下面的a，表示我要求和的起点，上面的b，表示我要求和的终点。就这问题而言，这个求和是有边界的，而a、b在这里表示的就是求和的边界。”
“所以整条式子的意思就是，在这个图形中，它的面积就等于从a到b这个区间，把所有这些底只有一滴滴距离，大小为dx，高度是f(x)的铅垂线的面积，现在我们按照面积公式，把它的面积全部都加起来。”
“然后！这条式子我们就说它是这个图形的面积公式。”
“那么问题来了，虽说我们定义了这些内涵，让这个式子赋予了很直白很简单易懂的含义，接下来我们只要能够算出这条式子，那么我们就能知道这个图形的面积。”
“可是……这些都是我们直接说它就是这样的，我们其实并不知道它是怎么算的。”
“这个一滴滴的距离dx，我们不可能真的一滴滴加起来。在现实中，这样的事情我们是办不到的。”
“所以接下来怎么办！”
“怎么办？”两人又是瞪大着眼睛看着他。
李纵袖子一捋，却是道：“我们先把这个放一放，接下来我们再学学另一个概念。”
“我们假设有λ=x(t)这么一个函数。”
“t，我们代表的是时间，单位是……随便，比如说一个时辰。”
“x，我们代表的是位置，比如说，假设我们在路上每隔一段距离，比如说十里路，就设置一个路标，上面写着这里的里程数，比如说，从出发点，0，然后是10、20、30这样，而在它们中间，当然可能也有我们之前讲到的那些类似于不是一个整数的，比如说根号2里。”
“总之，这些都不管，那x的单位就是：里。”
“然后我们想象一下，当一个人在这么一段路上走的时候，他是不是每一个时间点，都对应着一个里数。”
“现如今我们再定义一个速度的概念，什么是速度，就是路程除以时间。”
“好比说：你们两位，现如今离家有三十里，然后回去的话，走路回去的话，要三天。”
“那么我们就说，你们回家的平均速度，就是三十里除以三天，每天走十里路。”
“现在我们再假设一下，我们要是不想知道得这么粗糙，我们要想知道的是，你们二人每一瞬间，不是一天的平均速度，而是每一个瞬间的速度，这个式子又要如何表示？”
“按照前面的例子，是不是就是，如图。”
“dx除以dt，在一滴滴的时间之内，走了一滴滴的路。然后单位是，按照上面单位，结果就变成了人的瞬时速度是里/时辰。”
“通过这个式子，我们是不是就可以求得，某个人在某一瞬间很短很短的时间之内，他的速度。”
“当然！自古以来，就有一个诡论，那就是假设把我们动的这个时间跟位置记录下来，画下来，而且我们假设它可以被画下来，那么，假如说每一瞬间，我们在画上都没有动过，那我们是怎么从一个地方移动到另一个地方的。”
“其实实际情况自然是，我们不可能在每一瞬间都没有动，我们还是会动的。”
“而接下来我们说的这个，就是为了解决这个问题，如下所示：”
图。
“我们计算速度，有这么一条公式，移动过的距离x(t)-x(a)，除以时间变化t-a，那我们要想知道，我们在很短很短的时间，我们的速度，虽然我们已经有了上面这个式子，可问题是，这个很短很短的时间到底是多少。”
“有人说，很短很短的时间是眨一下眼的功夫，也有人不同意，说很短很短的时间是喜鹊扇一下翅膀所需要的时间，那么，我们该如何定义这个很短很短的时间，才能够让所有的人都信服。”
“那我们就可以让这个式子当中的t=a，t=a的意思，就是说，我让t就是a，这样大家面对这个很短很短的时间，就不会说，t-a到底是不是就是已经很短很短了。”
“因为我们让t=a，那就已经是变得不可再短了，是也不是？”
“但是在数术上，如果让t=a，我们没有办法把这个式子算出来。”
“上面是零，下面是零，零除以零等于多少？可我们还是想让这个式子能被算出来。”
“所以，在这里，我们再次引入一个新的符号，来表示我们接下来要做的事。”
图。
“我们就用这个形式写出来，表示我们接下来要做的事。”
“而且，我们将这个过程，称之为微分。”
“至于前面我们说的面积求和，则是积分。”
“那么问题来了，这两个东西加起来，合称‘微积分’，接下来要怎么用。”
“我们还是刚刚的例子，计算瞬时速度，也就是在一段很短很短时间的速度，这个速度是通过路程除以时间，微分得来的。”
“微分所记录的是每一个很短很短的时间，人所走过时的速度。”
“现在我假设，之前积分的图，这就是人在很短很短时间的速度的变化的坐标图。”
“现在我要求，人在某一段时间之内，也就是由a到b，他移动了多少路程，该怎么求？”
两人看看李纵所写下的面积，又看了看李纵。
按照他们的理解，只要字母中间不写东西的，都做乘法运算。那难不成这条式子的意思是用f(x)去乘dx，问题是这个dx又是什么意思。
上面可没有d这个字母。
不过张公绰还是试探着问道：“难不成……”
但话说到一半，张公绰便又停了下来。
“老夫还是不太能够理解，这图形的面积该如何求。”
李纵知道张公绰有点被现实束缚住了，也是提醒道：“这个dx的意思，就是一滴滴的x的意思。”
李纵说这话的同时，还用手指比了一段很小很小的距离给他看。
张公绰立刻就脱口而出，“难不成，你是想用割方条术？”
“什么？什么割方条术？”恒巽也是立刻问道。
张公绰便道：“如果把这个dx比作是一小段的距离，那么这个f(x)，就是它的高。底乘高，正是面积。”
“但……”
他紧接着又低着头犹豫了下。
李纵却是道：“没错！虽说你说的这个割方条术还不是很准确，但是，我们就是把这个图形，看成是一条条的铅垂线段，而且这条铅垂线段的底，正常来说，我们都会认为线是没有宽度的，但现在我们认为它有一滴滴的距离，而这个一滴滴的距离，就是dx。”
“所以这里的f(x)dx的意思，就是你原本所想的那样，即是底乘高的意思。”
张公绰却道：“可这样……这条线上，不是每一处……那这个要怎么加起来？”
李纵便道：“之前不是教过你们∑符号吗？这个弯曲的像蛇一样的符号，∫，它的意思就是求和。那为什么不用前面的那个，这就涉及到，两者求和的意义不同。”
“前者是对离散的，像1、2、3、4这样的，一个一个加在一起的求和，而∫是对任何实数，而且是连续分布的数的加起来一起。”
“比如说，在1跟2之间，会有一个根号2，也就是2的开方，它比1大，比2小，而反应在我们这个图形上，显然，虽然我们看不到，但它肯定是有的，我们要把这个也算上。而不能去跳过那些在1跟2之间的数。”
“然后，剩下还有两个数，一个是a，一个是b，下面的a，表示我要求和的起点，上面的b，表示我要求和的终点。就这问题而言，这个求和是有边界的，而a、b在这里表示的就是求和的边界。”
“所以整条式子的意思就是，在这个图形中，它的面积就等于从a到b这个区间，把所有这些底只有一滴滴距离，大小为dx，高度是f(x)的铅垂线的面积，现在我们按照面积公式，把它的面积全部都加起来。”
“然后！这条式子我们就说它是这个图形的面积公式。”
“那么问题来了，虽说我们定义了这些内涵，让这个式子赋予了很直白很简单易懂的含义，接下来我们只要能够算出这条式子，那么我们就能知道这个图形的面积。”
“可是……这些都是我们直接说它就是这样的，我们其实并不知道它是怎么算的。”
“这个一滴滴的距离dx，我们不可能真的一滴滴加起来。在现实中，这样的事情我们是办不到的。”
“所以接下来怎么办！”
“怎么办？”两人又是瞪大着眼睛看着他。
李纵袖子一捋，却是道：“我们先把这个放一放，接下来我们再学学另一个概念。”
“我们假设有λ=x(t)这么一个函数。”
“t，我们代表的是时间，单位是……随便，比如说一个时辰。”
“x，我们代表的是位置，比如说，假设我们在路上每隔一段距离，比如说十里路，就设置一个路标，上面写着这里的里程数，比如说，从出发点，0，然后是10、20、30这样，而在它们中间，当然可能也有我们之前讲到的那些类似于不是一个整数的，比如说根号2里。”
“总之，这些都不管，那x的单位就是：里。”
“然后我们想象一下，当一个人在这么一段路上走的时候，他是不是每一个时间点，都对应着一个里数。”
“现如今我们再定义一个速度的概念，什么是速度，就是路程除以时间。”
“好比说：你们两位，现如今离家有三十里，然后回去的话，走路回去的话，要三天。”
“那么我们就说，你们回家的平均速度，就是三十里除以三天，每天走十里路。”
“现在我们再假设一下，我们要是不想知道得这么粗糙，我们要想知道的是，你们二人每一瞬间，不是一天的平均速度，而是每一个瞬间的速度，这个式子又要如何表示？”
“按照前面的例子，是不是就是，如图。”
“dx除以dt，在一滴滴的时间之内，走了一滴滴的路。然后单位是，按照上面单位，结果就变成了人的瞬时速度是里/时辰。”
“通过这个式子，我们是不是就可以求得，某个人在某一瞬间很短很短的时间之内，他的速度。”
“当然！自古以来，就有一个诡论，那就是假设把我们动的这个时间跟位置记录下来，画下来，而且我们假设它可以被画下来，那么，假如说每一瞬间，我们在画上都没有动过，那我们是怎么从一个地方移动到另一个地方的。”
“其实实际情况自然是，我们不可能在每一瞬间都没有动，我们还是会动的。”
“而接下来我们说的这个，就是为了解决这个问题，如下所示：”
图。
“我们计算速度，有这么一条公式，移动过的距离x(t)-x(a)，除以时间变化t-a，那我们要想知道，我们在很短很短的时间，我们的速度，虽然我们已经有了上面这个式子，可问题是，这个很短很短的时间到底是多少。”
“有人说，很短很短的时间是眨一下眼的功夫，也有人不同意，说很短很短的时间是喜鹊扇一下翅膀所需要的时间，那么，我们该如何定义这个很短很短的时间，才能够让所有的人都信服。”
“那我们就可以让这个式子当中的t=a，t=a的意思，就是说，我让t就是a，这样大家面对这个很短很短的时间，就不会说，t-a到底是不是就是已经很短很短了。”
“因为我们让t=a，那就已经是变得不可再短了，是也不是？”
“但是在数术上，如果让t=a，我们没有办法把这个式子算出来。”
“上面是零，下面是零，零除以零等于多少？可我们还是想让这个式子能被算出来。”
“所以，在这里，我们再次引入一个新的符号，来表示我们接下来要做的事。”
图。
“我们就用这个形式写出来，表示我们接下来要做的事。”
“而且，我们将这个过程，称之为微分。”
“至于前面我们说的面积求和，则是积分。”
“那么问题来了，这两个东西加起来，合称‘微积分’，接下来要怎么用。”
“我们还是刚刚的例子，计算瞬时速度，也就是在一段很短很短时间的速度，这个速度是通过路程除以时间，微分得来的。”
“微分所记录的是每一个很短很短的时间，人所走过时的速度。”
“现在我假设，之前积分的图，这就是人在很短很短时间的速度的变化的坐标图。”
“现在我要求，人在某一段时间之内，也就是由a到b，他移动了多少路程，该怎么求？”